Partial Fraction Decomposition

Question

Answer 1

The expression

5[(2 - s) / (s^2 + 2s + 1/2)]

Consider denominator

s^2 + 2s + 1/2   =   s^2 + 2s + 1/2 + 1/2 - 1/2

                          =   s^2 + 2s + 1 - 1/2

                          =   (s + 1)^2  - √(1/2)^2

                          =   (s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)

Partial fraction decomposition

(2 - s) / [(s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)   =   [A/(s + 1 + 1√/2)] + [B/ (s + 1 - 1/√2)] ------> (T)

Take the LCM

(2 - s) / [(s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)   =  {[A(s + 1 - 1/√2)] + [B(s + 1 + 1/√2)]} / (s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)

2 - s   =  As + A - A/√2 + Bs + B + B/√2

2 - s   =  (A + B)s + [ A + B - (1/√2)(A - B)]

Compare 's' coefficients and constant terms

A + B   =   - 1  ------------> (1)

A + B - (1/√2)(A - B)   =   2  ---------------------> (2)

(-1) - (1/√2)(A - B)   =   2

 

(-1) - (1/√2)(A - B)   =   2 + 1

(A - B)   =   -3√2-------------------------> (3)

Add equations (1) and (3)

A + B   =   - 1

(A - B)   =   -3√2

(+)  (+)       (+)

------------------------------

2A   =   -1 -  3√2

A   =   - (3√2 + 1)/2

Subtract equation (3) for equation (1)

A + B   =   - 1

(A - B)   =   -3√2

(-)  (-)        (-)

------------------------------

2B   =   3√2 - 1

B   =   (3√2 - 1)/2

Substitute A = - (3√2 + 1)/2 and B = (3√2 - 1)/2 in equation (T)

(2 - s) / [(s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)   =   [- (3√2 + 1)/2] / (s + 1 + 1√/2) + [(3√2 - 1)/2] / (s + 1 - 1/√2)

(2 - s) / [(s + 1 + 1/√2) (s + 1 - 1/√2)   =   [(3√2 - 1)/2] / (s + 1 - 1/√2) - [(3√2 + 1)/2] / (s + 1 + 1√/2) +