Question

Describe the solution set of the linear system

4x_1 + 9x_2 - x_3 = -1.

-2x_1 - 6x_2 - 4x_3 = 2.

x_1 + x_2 - 4x_3 = 1, 

algebraically 

Answer 1

Let x_1 = x, x_2 = y and x_3 = z

 

The system of equations are

 

4x + 9y - z  =  -1 -----------------> (1)

 

-2x - 6y - 4z  =  2 -----------------> (2)    

 

x  +  y - 4z  =  1 -----------------> (3)

 

Multiply Eq(2) with 2 and to Eq (1)

 

Eq(2) X 2 =======>  -4x - 12y - 8z  =  4

 

Eq(1) ==========>    4x + 9y -  z  =  -1

 

                              -----------------------------------

 

                                             -3y  - 9z  =  3

 

                                             -3(y  + 3z)  =  3

 

                                                (y  + 3z)  =  3/(-3)

 

                                                (y  + 3z)  =  -1 --------------------- > (4)

 

Multiply Eq(3) with 2 and to Eq (2)

 

Eq(3) X 2 =======>  2x + 2y - 8z  =  2

 

Eq(2) ==========>  -2x - 6y - 4z  =  2

                             -------------------------------

                                         - 4y - 12z  =  4

 

                                        - 4(y + 3z)  =  4

 

                                            (y + 3z)  =  4/(-4)

 

                                            (y + 3z)  =  -1 ------------------------> (5)

 

Equations (4) and (5) are coinciding each other

 

Hence it has many solutions which satisfies below equations for x and y.

 

y  =  -1 - 3z

 

Substitute y = -3z - 1 in Eq (3)

 

x  +  (-1 - 3z) - 4z  =  1

 

x  - 1 - 3z - 4z  =  1

 

x  - 1 - 7z  =  1

 

x  =  1 + 1 + 7z

 

x  =  2 + 7z

Solutions are x  =  2 + 7z and y = -1 - 3z.